|
з цих площин. При цьому, якщо точка С належить обом площинам, то вона належить прямій с.
С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.
Це означає, що коли дві різні прямі а і b мають спільну точку С, то існує площина у, яка містить прямі а і b. Площина, що має цю властивість, єдина.
Таким чином, система аксіом стереометрії складається з аксіом I — IX планіметрії і групи аксіом С.
Зауваження. У планіметрії ми мали одну площину, на якій розміщались усі фігури, що розглядались. У стереометрії багато, навіть нескінченно багато, площин. У зв'язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії, як аксіом стереометрії, потребують уточнення. Це стосується, наприклад, аксіом IV, VII, VIII, IX. Наведемо ці уточнені формулювання.
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти у задану півплощину кут з даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один.
VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині у заданому розміщенні відносно даної півпрямої у цій площині.
IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.
Для зручності викладу нагадаємо аксіому I.
I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.
2. ІСНУВАННЯ ПЛОЩИНИ, ЯКА ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДАНУ ПРЯМУ І ДАНУ ТОЧКУ
Теорема 1.1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.
Доведення. Нехай АВ — дана пряма і С — точка, яка не лежить на ній (мал. 2). Проведемо через точки А і С пряму (аксіома I). Прямі АВ і АС різні, оскільки точка С не лежить на прямій АВ. Проведемо через прямі АВ і АС площину а. (аксіома С3). Вона проходить через пряму АВ і точку С.
Доведемо, що площина а, яка проходить через пряму АВ і точку С, єдина.
Припустимо, існує інша площина а', яка проходить через пряму АВ і точку С. За аксіомою С2 площини а і а' перетинаються по прямій. Ця пряма має містити точки А, В, С. Але вони не
|
|
