Переглянути всі підручники << < 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > >>       30. ПОДІБНІСТЬ ПРОСТОРОВИХ ФІГУР Перетворення подібності у просторі означають так само, як і на площині. А саме: перетворення фігури F називається пере­творенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну і ту саму кількість разів, тобто для двох довільних точок X і Y фігури F і точок X', Y', фігури F', в які вони переходять, Х'Y = k-ХY. Як і на площині, перетворення подібності у просторі пере­водить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими. Такими ж міркуваннями, як у п. 28, доводять, що перетворення подібності переводить площини у площини. Так само як і на площині, дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Найпростішим перетворенням подібності у просторі є го­мотетія. Як і на площині, гомотетія відносно центра О з коефіцієнтом гомотетії k — це перетворення, яке переводить довільну точку X у точку X' променя ОХ таку, що ОХ' = k-ОХ. Перетворення гомотетії у просторі переводить довільну площину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельну площину(або в себе, коли к = 1).   Справді, нехай О — центр гомоте­тії і α — довільна площина, яка не проходить через точку О (мал. 77). Візьмемо довільну пряму АВ у площи­ні α. Перетворення гомотетії пере­водить точку А у точку А' на промені ОА, а точку В — у точку В' на промені   коефіцієнт гомотетії. Звідси випливає подібність трикутників АОВ і А'ОВ'. З подібності трикутників маємо рів­ність відповідних кутів ОАВ і О А'В', а отже, паралельність прямих АВ і А'В'. Візьмемо тепер іншу пряму АС у площині α. Вона в резуль­таті гомотетії перейде у паралельну пряму А'С. При розглядува­ній гомотетії площина α перейде у площину  α', яка проходить через прямі А'В' і А'С'. Оскільки А'В'\\АВ і А'С'\\АС, то за теоремою 2.4 площини α і  α' паралельні, що й треба було довести.   Переглянути всі підручники << < 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > >>