Переглянути всі підручники << < 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > >>               6. РОЗБИТТЯ ПРОСТОРУ ПЛОЩИНОЮ НА ДВА ПІВПРОСТОРИ Теорема 1.4. Площина розбиває простір на два півпростори. Якщо точки X і Y належать одному півпростору, то відрізок XY не перетинає площини. Якщо ж точки X і Y належать різним півпросторам, то відрізок XY перетинає площину. Доведення (не для запам'ятовування). Нехай α — дана площина. Позначимо точку А, яка не лежить на площині α. Така точка існує за аксіомою С1 Розіб'ємо усі точки простору, які не лежать на площині α, на два півпростори таким чином. Точку X віднесемо до першого півпростору, якщо відрізок АХ не перети­нає площину α і до другого півпростору — якщо відрізок АХ пере­тинає площину α. Покажемо, що це розбиття простору має власти­вості, названі у теоремі. Нехай точки X і Y належать першому півпростору. Проведемо через точки A, X і Y площину α'. Якщо площина α' не перетинає площину α, то відрізок ХY теж не перетинає цю площину. Припу­стимо, площина α' перетинає площину α (мал. 9). Оскільки площи­ни різні, то їх перетин відбувається по деякій прямій а. Пряма а розбиває площину α' на дві півплощини. Точки X і Y належать одній півплощині, а саме тій, в якій лежить точка А. Тому відрі­зок XV не перетинає пряму а, а отже, і площину α. Якщо точки X і Y належать другому півпростору, то площи­на α' явно перетинає площину α, оскільки відрізок АХ перетинає площину α. Точки X і Y належать одній півплощині розбиття пло­щини α' прямою а. Звідси відрізок XY не перетинає пряму а, а отже, і площину α. Якщо, нарешті, точка X належить одному півпростору, а точ­ка Y — іншому, то площина α' перетинає площину α, а точки X і Y лежать у різних півплощинах площини α' відносно прямої а. Тому відрізок XY перетинає пряму а, а отже, і площину α. Теорему доведено. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Що таке стереометрія? 2. Сформулюйте аксіоми групи С. 3. Доведіть, що через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну. 4. Доведіть, що коли дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.               Переглянути всі підручники << < 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > >>